논란의 210921(수학 가형)은 과조건이다?(평가원 의도 풀이)
작년 9평 21번에서 평가원의 의도는 무엇일까요? 강사들 사이에서조차 논란이 많은 것으로 알고 있는데 그중에서 평가원의 의도한 풀이를 한 강사는 단 한명도 보지 못한 것 같습니다. 너가 뭔데 강사들이 이 문제를 제대로 풀었냐 못풀었냐를 판단하냐 라고 하시는 분들도 있을 것입니다. 하지만 평가원이 이 문제를 어떤 의도로 설계하고 어떤 표현을 통해 어떤 방식으로 풀도록 설계했는가를 알게 되고 그것의 논리를 깨닫게 되면 비판적인 안목이 생기고 수학 공부를 어떻게 해야 될까 방향성을 설정하는데 큰 도움이 될 것입니다. 그럼 각설하고 풀이를 시작하겠습니다. 
현장에서 이 문제를 첫 줄부터 읽으면서 할 수 있는 질문들을 우선 정리하겠습니다.(기출을 대하는 태도 중 가장 중요한 것이 문제 속 소재에 대해 묻고 따지는 것입니다)
1. 왜 하필 [-2pi, 2pi]로 구간을 정의했는가?
2. 왜 g(x)=3cos12x로 정의했는가?
3. 왜 f(x)=sinkx+2로 정의했는가?
1번 질문은 분명히 대칭성을 이용하라는 평가원의 의도입니다. 문제를 다 풀어보았다면 사실 닫힌구간 [-2pi, 2pi]는 과조건임을 알게 됩니다. 왜 구간을 과조건으로 설정했을까요? 평가원이 심심해서? 또는 평가원이 문제를 잘못 만들어서? 그럴 리가 없죠. 대부분의 그래프 풀이를 한 강사들이 조건을 [0, 2pi]인 것처럼 풀었던데(메가스터디, 대성마이맥의 모든 해설강의를 검토했음) 대칭성을 이용하겠다는 의지가 없다고 볼 수 있습니다. 그렇다고 그래프 풀이가 틀렸다는 것은 아닙니다. 오히려 문제를 끝까지 읽어보면 알겠지만 그래프 풀이가 필연적인 길이고 평가원이 정상적인 학생이라면 다른 풀이를 생각하기 힘들게 설계를 해놓았습니다.
2번 질문입니다. 왜 평가원은 cos함수를 설정했을까요? 삼각함수 그래프의 성질을 활용할 수도 있겠지만 1번과 연결해보면 cos함수는 분명히 우함수니까 y축에 대한 대칭성을 이용해야겠다는 생각이 들지 않을까요?
이제 조건을 읽어봅시다. 두 함수의 교점에 대한 조건을 명시했습니다. 교점? 그래프를 그려서 관찰하라는거네! 라는 생각이 드는 것이 교과과정에 맞는 생각입니다. 따라서 이 문제를 수식으로 풀었다 삼각함수의 일반해를 이용해서 풀었다 이것은 평가원의 의도에 맞지 않는 생각입니다.(수식으로 풀면 3분컷이 난다 이런 말들이 있는 것 같은데 그런 것에 현혹되면 안됩니다...수험생이 그런 풀이를 현장에서 구사할 수 있을까요?) 수식이 의도라면 그에 맞는 표현(방정식 등등)을 평가원이 써주었겠지요... 심지어 y좌표라는 말이 명시되어 있는데 이를 무시하고 수식풀이를 하는 것은 참...
결국 최종적으로는 위의 조건을 만족시키는 자연수 k의 개수를 구하라는 것이네요. 자연수? 자연수라는 소재도 대입을 통한 관찰이 올바른 태도입니다. 따라서 k=1부터 대입하여 그래프를 그리며 관찰하라는 것이 문제를 읽었을 때 떠오르는 정상적인 생각입니다.
하지만 곧바로 위기에 부딪히게 됩니다. cos12x를 [-2pi, 2pi]에 그리는 것이 쉽지 않기 때문이지요. 이 지점이 굉장히 중요하다고 생각합니다. 현장에서 갖게 되는 위기로 인한 긴장감.. (수능 공부를 할 때 이 느낌을 잊지 말아야 자기 자신을 점검할 수 있게 됩니다) 현장에서 참고 g(x)의 주기가 24번이나 반복되는 것을 그려야하나? 평가원이 의도한 것이 이게 맞나? 생각이 들면 거기서 멈추고 다시 고민해야 됩니다. 그리고 위의 질문 1,2의 과정이 있었다면 y축에 대한 대칭성을 이용해보겠다는 생각으로 다음과 같은 그래프를 그리는 것에 앞발을 내딛게 됩니다.
그리고 생기는 첫 번째 교점에 대해 묻고 따지겠지요. 조건에서 y좌표라는 소재를 제시했으므로 x축에 평행하면서 그 교점을 직선을 그리겠다는 것이 필연적인 보조선이 됩니다.
조건을 해석하면 그림의 직선과 f(x)가 만나는 모든 교점에서 g(x)가 만나야 한다는 것인데, 여기서 g(x)가 지나야 되는 점을 찍을 수 있게 됩니다. 표면적으로는 위의 그림처럼 4개의 점을 지나야겠지요. 하지만 여기서 g(x)가 우함수이고 이것을 이용해야겠다는 2번 질문의 사고를 유지하고 있다면 지나야하는 점이 더 있다는 사실을 깨닫게 됩니다.
바로 빨간 점들이죠. 이 빨간 점을 지나야 한다는 사실을 발견하지 못한 것이 논란 발생 이유의 핵심이라고 생각합니다. 왜 발견하지 못했냐, 문제 속 소재에 대해 묻지 않았기 때문이겠지요.. 그리고 형광펜을 그린 두 점들을 g(x)가 지나려면 처음 그린 그래프에 의해 개형이 결정된다는 것을 알게 됩니다. 아래의 그림처럼 말이죠.
이제 풀이는 끝난 것 같은데요? 조건을 만족시키기 위한 점을 g(x)가 모두 지나게 그리면 다른 모든 교점에서도 삼각함수의 대칭성에 의해 조건을 만족 할 수 밖에 없습니다. 즉, 필요조건인데 그것이 충분하기까지 하다는 것입니다. k=2,3...일때에도 g(x)가 어ᄄᅠᆫ 점들을 지나야 하는가는 마찬가지입니다. 이것은 질문 3번과 관련이 있습니다. 평가원이 의도적으로 f(x)의 최댓값을 3으로 설정해서 f(x)와 g(x)가 만나는 교점을 k=1의 상황과 유사하게 만들어 문제를 정상적으로 푼 사람들이라면 쉽게 유추가 가능하게 설계를 한 것입니다!(물론 이 생각까지는 사후적 분석으로 충분하고 현장에서는 답을 내는게 맞겠죠?) 이제 식을 적으면 npi/6=pi/k, k=6/n (n은 자연수). 따라서 정답2번이 나오는 문제입니다.
사실 이 풀이는 현장에서 생각하기 어렵다고 생각하시는 분들이 있을 것입니다. 이에 동의합니다. 솔직히 말하면 저도 현장에서는 대부분의 선생님들이 해설하시는 것처럼 (뇌피셜로 상황을 찍어서) 풀었습니다... 하지만 기출을 올바른 방향으로 분석했다면, 평가원이 학생들에게 대칭성에 대해 어떤 사고를 요구하는지를 깨닫는다면 발상적인 풀이는 아니라고 생각합니다. 참고로 저는 수학 가형 (시행년도)080617를 다시 공부하고 위의 풀이를 생각하게 되었습니다. 이 문제도 제대로 분석하면 단순한 방정식 문제가 아님을 알게 됩니다. (힌트 : 이 문제도 대칭성과 관련이 있으니 수험생 분들은 직접 풀어보시길..)
정리하겠습니다. 결국 수많은 인강 강사 및 학생들이 이 문제를 평가원이 의도한대로 접근하지 못한 이유는 딱 하나입니다. 문제 안에서 문제를 풀려고 시도하지 않았기 때문입니다. 그 때문에 강사들조차 그래프 풀이를 하더라도 상황을 찍어서 풀거나 수식, 일반해를 도입해서 푸는 등 평가원의 의도와 전혀 맞지 않는 해설을 했고 그 풀이들이 통일되지 못하여 학생들에게 학습 부담을 가중시키거나 거기서 파생된 이상한 개념들을 배우게 된 것입니다. 문제 속에 풀이 방향이 명시되어있는데도 말이지요...(물론 문제 속 소재에 대해 묻고 따지는 습관이 있는 사람, 교과 과정과 기출에 대한 이해가 충분히 되어있는 사람에게만...)
이제 와서 작년 모의고사로 뒷북을 치는 이유가 뭐냐? 첫 번째로 그때는 저도 수험생이었고 시간이 없었습니다. 두 번째로 이 문제가 수능 수학의 미래를 대비하는 데에 있어서 중요한 기준점이 될 것이라고 생각하기 때문입니다. 평가원에서 대칭성에 대해 묻는 것은 앞서 언급한 고전적인 기출에서도 알 수 있듯이 특정 년도에만 유행을 하는 소재가 아니라 보편적인 주제라고 생각합니다. 따라서 이에 대한 이해, 문제 속에서 단서를 찾아내는 훈련을 기출을 통해 하지 못하고 교과 외 과정이나 평가원의 의도에 맞지 않는 특정 강사의 풀이에 현혹된다면 미래를 대비하기 쉽지 않을 것이라 생각합니다. 이 글이 널리 퍼져서 수험생들이 기출 문제에 대한 올바른 풀이를 배우고 앞으로 수능 수학 공부의 방향성을 잡게 되었으면 좋겠습니다. 저의 글을 읽어주셔서 감사합니다^^
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댓글 환영입니다! 위 해설에대한 질문/비판도 환영입니다!
댓글 감사합니다! 풀이는 어떤가요??
대칭성을 이용하는 풀이는 평가원이 자주 요구하는 풀이이고, 이 풀이 역시 그러한 점에서 평가원의 출제의도에 맞는 풀이인 것 같습니다
감사합니다! 많은 사람들이 이 부분을 놓쳐서 아쉬울 따름이죠..
혹시 밑에 17번에 대한 칼럼(?)도 작성해주실 수 있나요? 단순 계산이 아닌 의도가 있다는게 감도 안잡히네요..
음.. 시간이 되면 작성하겠습니다!
간단하게 말하자면 평가원이 로그 절대값함수를 도입한 것에 고의성이 있다는 것입니다.
이를 이용하여 그래프의 교점에 주목하면 미지수를 도입했을 때보다 깔끔하게 풀립니다.
ㄷ선지의 "점 B와 C의 y좌표가 같을 때"라는 말을 위 문제의 풀이와 동일한 논리인 y축에 대한 대칭성을 결합하여 생각하시면 도움이 될 것 같습니다.
칼럼잘읽었습니다..(사실 시간안에다맞을수있으면 개같이풀어도괜찮긴함)
동의합니다~ 현장에서의 감각이 중요하긴 하죠..
박승동강의들어보셈...해설강의
이미 들어봤습니다. 하지만 위의 글에도 언급했듯이 수식풀이는 평가원이 의도한풀이가 아님을 알 수 있습니다. 얼마나 빨리푸느냐는 현장에서 생각할 수 있는지, 또는 미래를 어떻게 대비하는지와 상관이없다고 생개합니다..
심지어 다시들어보니 오개념도 포함되어있네요..
와우..혹시 더닝크루거 효과 아시나여
평가원은 해설을 작성하지 않아 평가원의 의도라고 추측하는 것도 결국은 개인의 뇌피셜에 지나지않습니다, 읽다보니 조금 과하게 강조하시는 것 같아 의식되서요ㅠㅠ
물론 개인의 뇌피셜이죠.. 하지만 적어도 "어떤 풀이가 이러한 문제 속 표현 때문에 틀렸다"라는 것은 가능하다고 생각하는 입장입니다. 물론 여기서 틀렸다는 말이 수학적, 논리적으로 틀렸다는 말이라는 것은 아닙니다. 수학은 동어반복의 학문이기 때문에 특성상 여러가지 풀이가 가능하죠.. 하지만 그것을 수능 수학에 대입시켜서는 안된다고 생각합니다. 평가원이라는 출제 매뉴얼이 있는 기관에서 만든 문제이고, 출제의원들의 의도가 있기 때문에 문제를 시간 안에 풀기 위해서는 표현을 통해 그것을 추측하는 것이 중요하다고 생각합니다. 다양한 풀이들이 존재하더라도 의도에 더 가깝거나 덜 가까운 풀이가 존재할 수 있다는 말이죠... 혹시 과하게 강조했다는 것은 어떤 부분이 걸려서 그렇게 느끼신건지 얘기를 해주시면 감사하겠습니다.
6평이랑 비교해서 봤을 때
귀납적 추론이 맞는 듯 .
6평 21번도 대입해보고 일반화 였던거 같은데
9평 21번도 대입하고 일반화로 풀었거든요
대입을통한 관찰이 중요한 행동영역이긴 하죠^^
npi/6=pi/k, k=6/n (n은 자연수) 는 어떻게 나온 식인가요? n은 무엇인가요?ㅠㅠ
수험생이신 것 같은데 답변 늦어서 죄송합니다...ㅠㅠ npi/6는 g(x)의 극댓값의 x좌표값이고 pi/k는 f(x)의 x좌표값입니다.(네번째 손글씨 그림의 형광펜칠한 부분을 참고하시면 됩니다!) 위 해설의 논리를 따라가다 보면 두 값이 같아야 조건을 만족시킴을 알 수 있습니다. 글 내용은 어땠는지 의견 남겨주시면 감사하겠습니다!!
죄송합니다ㅠㅠ 이해가 되지 않습니다
빨간 점선은 무엇이고 형광펜 쳐져있는건 무엇을 의미하나요?
g(x)가 빨간점을 지나야한다는 것 까지는 이해가 가시나요?
g가 빨간 점을 지나야되는건 알겠는데 빨간점이 f와 무슨 관계인지는 잘 모르겠습니다..
빨간점은 f와는 관련이 없습니다. g의 개형을 결정하는 수단입니다!
g(x)가 파란점을 지난다면 y축 대칭성에의해(gx가 우함수)이 빨간점도 지나야합니다. 빨간점선은 삼각함수인 f(x)의 대칭을 이용하겠다는 수단정도로 생각하시면 됩니다. 그렇다면 형광표시한 두개의 교점이 y축 근처의 두 교점과 평행이동 관계임을 알 수 있고 g(x)의 개형까지 결정됨을 알 수 있습니다. 궁금증은 해결 되었나요?
거의 다 이해했는데 마지막에 g 극대x좌표랑 fx좌표가 같다는게 무슨 뜻인가요??ㅠㅠ
f의 무슨 x죄표인가요?
y=2인점입니다!
g가 f가 2가 되는 점들에 대해 대칭임을 어떻게 아나요?
진짜 마지막 질문입니다 감사합니다ㅠㅠ
아 이해되셨다니 다행이네요!
열심히 하셔서 좋은 결과 있기를 응원할게요~
아 삼각함수니까 대칭이네요 진짜 감사합니다!!!!
답변해주셔서 진짜 진짜 감사합니다
형 너무 멋져요 나랑 결혼하자