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논리화학 [746146] · MS 2017 (수정됨) · 쪽지

2024-10-17 13:36:49
조회수 3,729

쿠쿠리의 고장난 시계(폭발원리 칼럼)

게시글 주소: https://leave.orbi.kr/00069517998

*학부 레벨 내 정도에서는 노력은 했으나 mathematical foundation으로 그 이상 깊게 들어갔을때 부족한 내용이 있을수도 있어요.

(근황 : https://orbi.kr/00069518123)

이 십 진짜


비모순율 : not(A and not A)

따라서 

모순<->(A and not A)<->거짓

(A and not A)가 거짓이면 A또는 not A가 거짓

따라서

모순이면->어떤명제가 거짓

대우명제

모든 명제가 참이면->무모순



이렇게 말했는데



결론에 있는 증명은 (단어 선택이 좋지 않지만) roughly 맞는말임.

(그리고 앞에 있는 잡 논증들은 단어의 선택은 빈약하지만 틀린얘기는 아님)

폭발원리와 관련해 논리학적으로 뜯어볼만한 가치도 있기는 하고.


요약 :

1. 맞는말을 했다.

2. 모순을 가정하면 모든 명제는 참이다(폭발원리)

3. (술어)논리체계의 무모순은 참이다.

4. 어떤 명제가 거짓이라는것을 부정하면 모순이 도출된다.

5. 결론적으로 단어 선택만 좋지 않고 크게 이상한건 없었다.


여러방면으로 뜯어보자.


“모순이면“을 “논리체계가 모순이면“정도로 말한것같음. 이렇게 바꿔서 좀 더 얘기해야하는데

누가 “모순“은 명제 하나에만 적용된다고 했는데 ㄴㄴ 논리체계에 모순 가정하는것도 가능함.

대신 "논리체계가 모순이면"을 "논리체계"안에서 다루는건 살짝 위험하기 떄문에, 조금 돌아가서 "어떤 참인 명제가 모순이면" 정도로 쉽게 갑시다.

설명하면


어떤 참인 명제가 모순임을 가정하면 아무런 명제나 참임.

아무런 명제가 참이라는건 곧 논리체계가 모순이라는 것.

따라서 

(논리체계가)모순이면 -> 어떤 명제가 거짓이다
이건 일단 참인 명제임.


이걸 폭발 원리, Principle of explosion, Ex falso quodlibet이라고 함.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Principle_of_explosion

https://namu.wiki/w/%EB%AA%85%EC%A0%9C%20%EB%85%BC%EB%A6%AC#s-4.10

나무위키의 간략 증명 퍼오면


소크라테스는 죽었으며 죽지 않았다고 가정하자.
소크라테스는 죽었다.
소크라테스는 죽었거나, P이다. (죽었다 or P)
소크라테스는 죽지 않았다. (죽었다가 거짓이므로, P는 참)
따라서 P이다


모순을 가정하면 아무 명제나 참이라는걸 보일수 있음.



쿠쿠리가 한 얘기는

어떤 참인 명제가 모순이면 P이다 (A)

P가 아니면, 모든 참인 명제가 모순이 아니다. (A의 대우)

이란 꼴의 주장임. 


A는 폭발원리에 의해 P에 뭐가와도 참인 항진명제임.

또 대우도 참임.

왜 말이 되냐면, 기본적으로 1차논리에서는 “모든 참인 명제가 모순이 아니다“는 참인 명제임.

앞서 봤듯이, 어떠한 한 명제라도 모순이면 논리체계가 박살나기때문.


그래서 맞는말을 하고있음. 




왜 역설처럼 보이는지는 쿠쿠리가 집어넣은 P가 문제임.

또 쿠쿠리가 말한 P 가 “어떤 명제가 거짓이다“인데

이것을 부정한다는것은 모순을 함의함. 거짓인 명제가 하나도 없다는건 모두 참이라는것, 그렇다면 P와 ~P가 참이라는것, 그러면 모순이고, 또 모든 명제가 거짓이기도 하고.


즉 쿠쿠리의 논증은

사실상


논리체계가 모순이면 -> ~(논리체계가 모순)

의 대우

논리체계가 모순이면 -> ~(논리체계가 모순)


이런 꼴임.

근데 맞는 명제인게 전제가 모순이라서.

헷갈릴만함



어떤 명제가 거짓이라는걸 부정하는게 안 와닿으니 다들 개소리라고 느낀것같고, 본인도 “모든 명제가 참인 세상도 다뤄야 한다“라고 말했는데 그게 곧 모순을 참이라고 가정한 세상인건 잘 모른거같고.


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