23학년도 수능 기하 30번 공간벡터로 풀기
삼각형 PQR의 넓이와, 평면 PQR과 평면 α의 이루는 각을θ(단, 0<θ<½π)라 할때 cosθ를 알면 됩니다.
무슨 이유에서인지 점의 레이블을 걸어주지 않았습니다;;
당황스러우니 먼저 정하죠.(윗꼭짓점-밑면 삼각형 반시계방향 순으로 쓰는 것이 보통 일반적입니다.)
먼저 삼각형 PQR의 넓이를 먼저 구하겠습니다.
정사면체 ABCD와 정사면체 APQR는 닮음입니다.
따라서 삼각형 BCD와 삼각형 PQR은 닮음입니다.
(참고로 입체도형의 닮음비와 평면도형의 닮음비는 같습니다.)
그러므로 삼각형 BCD의 넓이와 두 정사면체 사이의 닮음비를 안다면 '넓이비=닮음비 제곱'을 이용하여 삼각형 PQR의 넓이를 구할 수 있습니다.
정삼각형의 경우 외심이 곧 무게중심입니다.
그리고 이 외심은 문제에서 주어진대로 구 S의 중심이므로 점 P와 점 O를 이어준 길이는 곧 반지름이 됩니다.
따라서 이등변 삼각형의 이미지가 나오게 되고 우리는 밑변에 수선을 내려 직각삼각형을 작도할 수 있습니다.
그런 다음 반지름에 정사면체에서 직선과 밑면이 이루는 각의 코사인을 곱하여 윗 그림과 같이 결국 AP의 길이를 알 수 있게 됩니다. 따라서 두 정사면체의 닮음비는 AP:AB=1:3입니다. 이것이 곧 삼각형 PQR과 삼각형 BCD의 닮음비이므로 둘의 넓이비는 1:9가 됩니다. 따라서 삼각형 BCD의 넓이를 9로 나눠준 값이 삼각형 PQR의 넓이가 되겠네요^^
구해주면(윗 그림 참고) 
이제 평면 PQR과 평면 α의 이루는 각을θ(단, 0<θ<½π)라 할때 cosθ를 구합시다.
그런데 평면 α는 구에 접하는 평면이므로 법선이 확실하게 보장되어있습니다. 따라서 이면각을 교선을 찾아 그대로 보기 보다는 법선과 법선이 이루는 각으로 봐도 상관이 없습니다. 즉 두 평면에 대한 법선벡터를 성분화할수만 있다면 내적을 통해 cosθ를 쉽게 구할 수 있는 것이죠.
성분과 좌표는 동일한 것이 아니지만 정사면체에서는 다음과 같이 좌표를 잡는것이 가능합니다.
좌표는 분수가 안나오도록 세팅하는 것이 관건입니다.(굳이 구의 반지름이 6이라는 것에 집착할 필요 없어요. 어차피 윗꼭짓점을 닮음의 중심으로 하여 다 닮음인 공간도형이므로 법선벡터끼리는 평행합니다.)
아무래도 삼등분점 상황, 무게중심을 구할때 3으로 나누는 것, 최소 단위의 숫자를 사용할 것을 모두 감안하게 되면 단위값을 3으로 설정하는 것이 좋습니다.
이제 각 평면에 대한 법선벡터를 구해 볼게요.
먼저 평면 PQR에 대한 법선벡터는 그냥 (1,1,1)로 잡으시면 됩니다. 어차피 윗꼭짓점을 닮음의 중심으로 하는 모든 정사면체의 법선벡터는 가장 간단하게 표현할시 (1,1,1)이 될 수 밖에 없습니다.
이제 평면 α에 대한 법선벡터를 구해봅니다. 구에 접하는 평면이므로 그 법선벡터를 알려면 구의 중심과 접점에 대한 정보가 필요합니다. 따라서 구의 중심은 (2,2,2), 접점은 (1,1,0)이므로 빼주면 법벡은 (1,1,2)
내적을 통해 cosθ를 구해주면 
따라서 정사영은 
제곱해주면 답은 24.
봐주셔서 감사합니다
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
왜 저는 흰색인가요..
-
으하하
-
있음?
-
면접 결과 발표는 2월 7일 그냥 한꺼번에 발표하나요?
-
그래!내가 유메를 죽였다!
-
원래부터 저능은 아니었는데
-
묵혀둔 궁금함이다
-
강동원 한양대학교 에리카캠퍼스 기계공학과 하석진 한양대학교 기계공학부 남궁민 푸앙대...
-
1회차 모고 보는데 이어도 배우지 않았는데 나와버리누
-
빨리해라좀 오르비에서 라인 쭉쭉 떨어지고 있네..
-
n수를 몇 번을 박아도.. 자신 없음 미적 100이랑 과탐 만점이 자신 없음
-
클릭 외않헤?
-
지들이 짜게 잡아서 안들어오는걸 그냥 덜들어오는줄 알고 표점 10점찍 높고 변표...
-
다들 한완수가 짱이다길래 슥 봤는데 개인적으로 너무 난잡해보이고 해서... 기본...
-
22학번인데 자퇴하고 수능보는건 너무 늦은걸까요.. 과가 너무 맞지가 않습니다....
-
새내기 저축 6
대학교 입학할 때 통장에 얼마정도 모아져있어야 평타인가요? 학비랑 기숙사비는 다 부모님이 내주세요
-
썸녀와 전화하기 4
-
학원알바옴 12
오늘도 대놓고 오르비를 벅벅~
-
성형 설문조사 3
ㄱㄱ
-
조발 안하는 학교들로만 썼네..쩝
-
어제가 치과의사 국가고시 날이었습니다. 추웠는데 다들 시험 잘 보셨길 바랍니다....
-
달달하게 뚫렸네~
-
밖에 데모 하나 0
민중의 목소리 어쩌고 저쩌고
-
덕코드림다
-
1컷 원점수 48이네 ㄷ 고인물 때문인거야 난이도 때문인거야
-
기계공 욕하지마라 17
-
냥대 최초합 4
-
그때 가서 남아있는 돈 보고 부족하면 청년대출 받아서라도 대학 들어가기 전에...
-
1/inf = x = 최소 양수(분자의 1때문에) x/2=x x=2x 0=x...
-
그래 나도 사실 5
이런 데 오고 싶지 않았어 그래서 난 가 집으로
-
중앙대는 0
이제 탈급간 ㄱㄴ?
-
내신 시험 칼춤 출 수 있는데 저만 그런가요? 학교별 스타일에 따라 다른건가
-
ㄱㅊ다는게 잘낫다는게 아니고 무난하다 평범하다 이말임 성격이 나쁘다..라는 말은...
-
이거 맞냐
-
PVC와 석유 5
요약해서 말하면 석유 정제 및 증류 과정에서 걸러져 나온 탄화수소 화합물을 이용해...
-
과외를 처음 해보는데 학부모님께서 시범과외 문의가 오셔서.. 보통 과외 처음 할 때...
-
냥대컴소 펑 1
낙지 최종컷보다 4점낮은사람 최초합한듯
-
알림 존나와있네
-
흠. 8
차단 해야하나.
-
연카성울고는 왜 8
다 가군일까
-
원래 php 파일 업로드 못하게 업로드 가능한 파일을 오르비에서 제한하더라구요....
-
아 시발 좆됐다 0
3개년동안 추합 비슷하게 돌다가 갑자기 이번에 추합 안도는 그런 무지막지한 씨발같은...
-
특정당해도 떳떳한 사람이 되어야겠음 사실 오르비언한테 특정당하는건 ㄱㅊ은듯.....
-
가능한가요 시대인재 강기원 김현우 박종민
-
사실 갑니다. 아니 안 갑니다. 구라고 사실 전자 아닙니다.
-
한양 1
한양대 합격했는데 따로 뭐 등록해야되는거 없죠?? 등록금도 2월 10일에 내는거 맞나요?
-
논술준비 2
형 누나들 논술 준비하던 07인데 논술 기출은 대학에서 제공하는 예시답안 같은거...
-
인생 어렵네요 4
매년 1-2명씩만 추합도는 학과인데 제가1번이에요... 제발 되면 좋겠고 역시...
-
생년월일 ㅅㅂㅋㅋ 12
저건 생각못했네
-
저 보자마자 어 000아니니?? 하셔서 감동받았어요 고3 담임쌤은 떠나신거 알았고...
고능아
감사합니당
않이..
저는그냥 선 찍찍 긋고 풀래요
기하는 알아도 기벡은 잘 몰루..
사실 제가 푼 풀이는 굉장히 돌아간 풀이에여. 마지막처리 과정에서 길이 다 알 수 있으니 그냥 코사인 법칙 쓰면 됨 ㅋㅋ
그냥 정사면체 좌표 잡는거 적용해서 풀려고 억지로 공간벡터를 사용한 감이 있죠.