부정방정식 문제 풀이
(1) m ≤ 6 일 때, 대입해보면 (m,n)=(3,2)만 가능함을 알 수 있다.
(2) m ≥ 7 일 때, n=2^a*b라고 하자. (b는 홀수, a는 음이 아닌 정수).
b=1이면, 2^n+2^a=m!이 7의 배수이므로 모순이고, b>1이다.
b>1일 때, m≥b이면 2^n이 b의 배수여야하고 모순이다. (b는 b>1인 홀수이므로) 따라서 m<b.
m^b>m^m>m!>2^n=2^(2^a*b) => m > 2^(2^a)이고,
a는 m!의 2의 지수와 같으므로 a≥[m/2]≥(m-1)/2이다.
즉, 2a ≥ m-1 ≥ 2^(2^a)인데, 이를 만족하는 음이 아닌 정수 a는 존재하지 않는다.
따라서 해를 종합하면 (m,n)=(3,2)가 유일한 해가 된다.
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ㄷㄷ
새삼 대단해지네..